Если ключ с парольной защитой - его нельзя использовать в не интерактивных сеансах просто так (сама ssh не дает - небезопасно. А такой запуск как вы хотите - это как раз не интерактивный сеанс получается).
Можно попробовать добавить его в систему через ssh-agent (после чего
-o IdentityFile=/home/user/.ssh/key
уже не нужно указывать в самой команде sshfs). Тогда, по идее, работать будет.
Но вообще - а вам пароль на ключе точно нужен? В большинстве случаев оно излишне, и ключ делают для того, чтобы пароль не вводить каждый раз.
Так то у ssh по паролю вход и без ключа достаточно надежная штука...
Но это так, в общем. А по истории с терминалом - это у вас, как и у многих, есть недопонимание: что такое фоновое выполнение. & - это действительно запуск фоном, в отдельном потоке. Но такой запуск не отменяет правила - у каждого процесса должен быть родитель. Если родитель пропадает (завершает работу) - ядро прибьет все его дочерние процессы тоже. Процесс без родителя - это ненормальное состояние, обозначается как zombie процесс. Обычно наличие такового говорит о том, что в системе что-то не совсем здраво работает.
В нормальной ситуации у всех процессов общая иерархия - там можно проследить цепочку родителей любого процесса до процесса с PID 1.
Так вот - ваш скрипт запускает команду в отдельном потоке, а сам завершает работу (т.к. именно в этом смысл отдельного потока - не нужно ждать результата его работы.) И разумеется дочерний поток тут же умирает вместе с ним.
Есть два выхода из ситуации. Первый - костыльный, через nohup (читайте мануал по команде, в кратце - она принудительно меняет процессу родителя отвязывая процесс от настоящего родителя).
Второй кошерный - через создание юнита systemd, чтобы ваше соединение стало сервисом, который можно поднять или выключить через стандартную команду (а вот ее уже можно и с ярлыка дергать без проблем.)
Сервис (юнит) пишется достаточно просто. Вот тут достаточно подробно про всю эту кухню (да и вообще в сети много по этой теме):
https://losst.pro/upravlenie-sluzhbami-linux
Вам нужен раздел про пользовательские сервисы (можно и общесистемным сделать, но тогда пароль суперюзера будет просить каждый раз.)