Всю /data отдай во владение рута. Права не наследуются (это не игра престолов ) Так что подпапки там будут со своими правами.
Не знаю как зовут пользователя файрберд и твоего. Но предположим что firebird для БД и vasya для тебя.
chmod 775 /data/firebird - даст полные права пользователю и группе, остальным возможность смотреть папку.
chown firebird:vasya /data/firebird - владелец файрберд, группа пользователя вася.
П.С. На самом деле, если уж на то пошло... А нахрена пользователю права? Для создания бекапа тебе достаточно прав на чтение, которые будут у любого желающего (обычно файлы создаются с разрешением 644). Не будешь же ты руками править бинарные файлы БД? А содержимое /data/firebird СУБД должна формировать автоматически. Короче подумай - зачем тебе права на эту папку?
Тогда вообще не давай никому прав кроме файрберда. Пользователю они не нужны. Бекап итак сделаешь, а для импорта/экспорта используется утилита, и от кого ее запустишь, от того и будет файл.